Primitívna funkcia

V predchádzajúcich kapitolách sme sa naučili derivovať. Teraz sa budeme zaoberať riešením úlohy v opačnom smere. Budeme hľadať funkciu, ktorú keď zderivujeme dostaneme danú funkciu. Táto funkcia
sa nielen v matematike hľadá veľmi často a nazýva sa  primitívna funkcia.

Definícia

Funkciu  F(x) nazývame primitívna funkcia k funkcii f(x) na intervale (a,b) , ak 
pre každé  x(a,b)  platí : F´(x) = f(x).

Príklady:
Funkcia  F(x) = x3  je primitívna funkcia k funkcii  f(x) = 3x2   v R, lebo v R platí:
F´(x) = [x3]' = 3x2 = f(x).

Funkcia  F(x) = sinx  je primitívna funkcia k funkcii  f(x) = cosx   v R, lebo v R platí:
F´(x) = [sinx]' = cosx = f(x).

Funkcia  F(x) = -cosx  je primitívna funkcia k funkcii  f(x) = sinx   v R, lebo v R platí:
F´(x) = [-cosx]' = -(-sinx)=sinx = f(x).

Príklad:
Nájdite samostatne primitívnu funkciu k funkcii f: y = 3x2 - 2x  v obore všetkých reálnych čísel R
a rozhodnite, či existuje jediná primitívna funkcia k tejto funkcii.
                                                                                                                                                        kontrola


Predchádzajúci príklad ukazuje, určenie primitívnej funkcie (na rozdiel od derivovania) nie je 
jednoznačný proces , ale platí veta:

Veta:

Ak je  funkcia F(x) primitívna funkcia k funkcii f(x), potom každá ďalšia primitívna funkcia
k funkcii f(x) má tvar F(x) + c, kde c je reálná konstanta.

Operáciu, ktorou určujeme primitívnu funkciu F(x) + c k danej funkcii f(x) nazývame integrovaním
(inverzná operácia k derivovaniu).
Zapisujeme: = F(x) + c,
kde se symbol nazývame neurčitý integrál a predstavuje množinu všetkých primitívnych
funkcií  F(x) + c.
se nazýva integračný znak, dx diferenciál x - označuje integračnú premennú a
c je integračná konštanta.

Riešenie predchádzajúceho príkladu stručne zapisujeme takto:.

(3x2 - 2x) dx = x3 - x2 + c

V nasledujúcej tabuľke sú základné  pravidlá na  integrovanie elementárnych funkcií:

a dx = ax + c , a je reálna konštanta
xn dx = + c , n-1
= ln|x| + c , x0
ex dx = ex + c
ax dx = + c
sinx dx = -cosx + c
cosx dx = sinx + c
dx = tgx + c
dx = -cotgx + c

Tieto pravidlá platia len pre hodnoty x, pre ktoré sú funkcie definované. Dokázať uvedené pravidlá
možno jednoducho derivovaním.



Veta (integrovanie násobku, súčtu a rozdielu funkcií):


c.f(x) dx = c f(x) dx                           
                                                                     konštantu (v súčine) môžeme  vyňať  pred integrál

[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx         
                                                                   integrál zo súčtu funkcií je súčet integrálov funkcií

[f(x) - g(x)] dx = f(x) dx - g(x) dx           
                                                                   integrál z rozdielu funkcií je rozdiel  integrálov funkcií


Pozor: Nepoznáme pravidlo na integrovanie súčinu a  podielu funkcií.

Súhrnný prehľad pravidiel na integrovanie elementárnych funkcií a viet na výpočet integrálov získate
kliknutím na prehľad.

          
Obsah tejto kapitoly je spracovaný podľa nasledujúcej stránky http://www.mojeskola.cz
Po zaregistrovaní a prihlásení sa na stránke ( http://www.mojeskola.cz/  => VÝUKA  => Matika + krokem = e-learning kurz  => 2. Limita, derivace, integrál => Primitívní funkce - 6.lekce) môžete precvičovať učivo o neurčitých integráloch rôznou formou - preštudovaním riešených úloh, riešením úloh s krokovou kontrolou e-učiteľa, riešením príkladov na precvičenie s možnosťou kontroly výsledku a pomocou, riešením kontrolného alebo náhodného testu.


Autor: RNDr. Marta Mlynarčíková
Gymnázium P.O.Hviezdoslava Kežmarok